Zgjidh 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Gjej x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$3x+9-6y=0$$

Zbrit 9 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-6y=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 12 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$-2x-2y=12$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-6y=-9$$

Mblidh 6y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=6y-9$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 6y-9.

$$x=2y-3$$

Zëvendëso x me 2y-3 në ekuacionin tjetër, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Shumëzo -2 herë 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Mblidh -4y me -2y.

$$-6y+6=12$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-6y=6$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në x=2y-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Shumëzo 2 herë -1.

$$x=-2-3$$

Mblidh -3 me -2.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$3x+9-6y=0$$

Zbrit 9 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-6y=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 12 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$-2x-2y=12$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-5,y=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 6y nga të dyja anët.

$$3x+9-6y=0$$

Zbrit 9 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-6y=-9$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 12 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$-2x-2y=12$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Për ta bërë 3x të barabartë me -2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Thjeshto.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Zbrit -6x-6y=36 nga -6x+12y=18 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Mblidh -6x me 6x. Shprehjet -6x dhe 6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12y+6y=18-36$$

Mblidh 12y me 6y.

$$18y=18-36$$

Mblidh 18 me -36.

$$18y=-18$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në -2x-2y=12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Shumëzo -2 herë -1.

$$-2x+2=12$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=10$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-5,y=-1$$