Zgjidh 3x+2y=12,12=9x-8y

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 8 y$$

Gjej x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$9x-8y=12$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+2y=12$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-2y+12$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

Zëvendëso x me -\frac{2y}{3}+4 në ekuacionin tjetër, 9x-8y=12.

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-8y=12$$

Shumëzo 9 herë -\frac{2y}{3}+4.

$$-6y+36-8y=12$$

Mblidh -6y me -8y.

$$-14y+36=12$$

Zbrit 36 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-14y=-24$$

Pjesëto të dyja anët me -14.

$$y=\frac{12}{7}$$

Zëvendëso y me \frac{12}{7} në x=-\frac{2}{3}y+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{12}{7}+4$$

Shumëzo -\frac{2}{3} herë \frac{12}{7} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{8}{7}+4$$

Mblidh 4 me -\frac{8}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$9x-8y=12$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-8\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-8\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-8\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}\times 12+\frac{1}{21}\times 12\\\frac{3}{14}\times 12-\frac{1}{14}\times 12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$9x-8y=12$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

Për ta bërë 3x të barabartë me 9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-8\right)y=3\times 12$$

Thjeshto.

$$27x+18y=108,27x-24y=36$$

Zbrit 27x-24y=36 nga 27x+18y=108 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$27x-27x+18y+24y=108-36$$

Mblidh 27x me -27x. Shprehjet 27x dhe -27x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$18y+24y=108-36$$

Mblidh 18y me 24y.

$$42y=108-36$$

Mblidh 108 me -36.

$$42y=72$$

Pjesëto të dyja anët me 42.

$$y=\frac{12}{7}$$

Zëvendëso y me \frac{12}{7} në 9x-8y=12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$9x-8\times \frac{12}{7}=12$$

Shumëzo -8 herë \frac{12}{7}.

$$9x-\frac{96}{7}=12$$

Mblidh \frac{96}{7} në të dyja anët e ekuacionit.

$$9x=\frac{180}{7}$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$x=\frac{20}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$