Zgjidh 3x+2y=12,12=9x-2y

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$9x-2y=12$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+2y=12$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-2y+12$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

Zëvendëso x me -\frac{2y}{3}+4 në ekuacionin tjetër, 9x-2y=12.

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-2y=12$$

Shumëzo 9 herë -\frac{2y}{3}+4.

$$-6y+36-2y=12$$

Mblidh -6y me -2y.

$$-8y+36=12$$

Zbrit 36 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-8y=-24$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në x=-\frac{2}{3}y+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{2}{3}\times 3+4$$

Shumëzo -\frac{2}{3} herë 3.

$$x=-2+4$$

Mblidh 4 me -2.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$9x-2y=12$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 12+\frac{1}{12}\times 12\\\frac{3}{8}\times 12-\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$9x-2y=12$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

Për ta bërë 3x të barabartë me 9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Thjeshto.

$$27x+18y=108,27x-6y=36$$

Zbrit 27x-6y=36 nga 27x+18y=108 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$27x-27x+18y+6y=108-36$$

Mblidh 27x me -27x. Shprehjet 27x dhe -27x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$18y+6y=108-36$$

Mblidh 18y me 6y.

$$24y=108-36$$

Mblidh 108 me -36.

$$24y=72$$

Pjesëto të dyja anët me 24.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në 9x-2y=12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$9x-2\times 3=12$$

Shumëzo -2 herë 3.

$$9x-6=12$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$9x=18$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=3$$