Zgjidh 3t^2+20t-32

$$3 t ^ { 2 } + 20 t - 32$$

Faktorizo

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 3t^{2}+at+bt-32. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=20 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 20.

$$a=-4 b=24$$

Rishkruaj 3t^{2}+20t-32 si \left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right).

$$\left(3t^{2}-4t\right)+\left(24t-32\right)$$

Faktorizo t në grupin e parë dhe 8 në të dytin.

$$t\left(3t-4\right)+8\left(3t-4\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3t-4 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$3t^{2}+20t-32=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë 20.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -32.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 3}$$

Mblidh 400 me 384.

$$t=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 784.

$$t=\frac{-20±28}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$t=\frac{-20±28}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin t=\frac{-20±28}{6} kur ± është plus. Mblidh -20 me 28.

$$t=\frac{8}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{8}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$t=\frac{4}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin t=\frac{-20±28}{6} kur ± është minus. Zbrit 28 nga -20.

$$t=-\frac{48}{6}$$

Pjesëto -48 me 6.

$$t=-8$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{4}{3} për x_{1} dhe -8 për x_{2}.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t-\left(-8\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$3t^{2}+20t-32=3\left(t-\frac{4}{3}\right)\left(t+8\right)$$

Zbrit \frac{4}{3} nga t duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$3t^{2}+20t-32=3\times \frac{3t-4}{3}\left(t+8\right)$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 3 në 3 dhe 3.

$$3t^{2}+20t-32=\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$

Vlerëso

$$\left(3t-4\right)\left(t+8\right)$$