Zgjidh 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Gjej n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3n^{2}+an+bn-15. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -4.

$$a=-9 b=5$$

Rishkruaj 3n^{2}-4n-15 si \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Faktorizo 3n në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët n-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-3=0 dhe 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me -4 dhe c me -15 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Mblidh 16 me 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

E kundërta e -4 është 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{4±14}{6} kur ± është plus. Mblidh 4 me 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Pjesëto 18 me 6.

$$n=3$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{4±14}{6} kur ± është minus. Zbrit 14 nga 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{-10}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Mblidh 15 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Zbritja e -15 nga vetja e tij jep 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Zbrit -15 nga 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Pjesëto 15 me 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Pjesëto -\frac{4}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{2}{3}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{2}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{2}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Mblidh 5 me \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktori n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror i përsosur, ai mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Thjeshto.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Mblidh \frac{2}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$