Zgjidh 3n^2+2n-21=0

$$3 n ^ { 2 } + 2 n - 21 = 0$$

Gjej n

$$n=-3$$

$$n = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3n^{2}+an+bn-21. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=2 ab=3\left(-21\right)=-63$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 2.

$$a=-7 b=9$$

Rishkruaj 3n^{2}+2n-21 si \left(3n^{2}-7n\right)+\left(9n-21\right).

$$\left(3n^{2}-7n\right)+\left(9n-21\right)$$

Faktorizo n në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$n\left(3n-7\right)+3\left(3n-7\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3n-7 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3n-7\right)\left(n+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3n-7=0 dhe n+3=0.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3n^{2}+2n-21=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me 2 dhe c me -21 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë 2.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-21\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -21.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 3}$$

Mblidh 4 me 252.

$$n=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 256.

$$n=\frac{-2±16}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$n=\frac{-2±16}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-2±16}{6} kur ± është plus. Mblidh -2 me 16.

$$n=\frac{14}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{14}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$n=\frac{7}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-2±16}{6} kur ± është minus. Zbrit 16 nga -2.

$$n=-\frac{18}{6}$$

Pjesëto -18 me 6.

$$n=-3$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+2n-21=0$$

Mblidh 21 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3n^{2}+2n-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Zbritja e -21 nga vetja e tij jep 0.

$$3n^{2}+2n=-\left(-21\right)$$

Zbrit -21 nga 0.

$$3n^{2}+2n=21$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3n^{2}+2n}{3}=\frac{21}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n=\frac{21}{3}$$

Pjesëto 21 me 3.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n=7$$

Pjesëto \frac{2}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{1}{3}. Më pas mblidh katrorin e \frac{1}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{1}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Mblidh 7 me \frac{1}{9}.

$$n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Faktori n^{2}+\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Thjeshto.

$$n+\frac{1}{3}=\frac{8}{3} n+\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Zbrit \frac{1}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$n=\frac{7}{3} n=-3$$