Zgjidh 3(2x+1)^2+10(2x+1)+3=0

$$3 ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } + 10 ( 2 x + 1 ) + 3 = 0$$

Gjej x

$$x=-2$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+1\right)^{2}.

$$3\left(4x^{2}+4x+1\right)+10\left(2x+1\right)+3=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 4x^{2}+4x+1.

$$12x^{2}+12x+3+10\left(2x+1\right)+3=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 10 me 2x+1.

$$12x^{2}+12x+3+20x+10+3=0$$

Kombino 12x dhe 20x për të marrë 32x.

$$12x^{2}+32x+3+10+3=0$$

Shto 3 dhe 10 për të marrë 13.

$$12x^{2}+32x+13+3=0$$

Shto 13 dhe 3 për të marrë 16.

$$12x^{2}+32x+16=0$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$3x^{2}+8x+4=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx+4. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=8 ab=3\times 4=12$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 8.

$$a=2 b=6$$

Rishkruaj 3x^{2}+8x+4 si \left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 2 në të dytin.

$$x\left(3x+2\right)+2\left(3x+2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x+2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x+2\right)\left(x+2\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x+2=0 dhe x+2=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+1\right)^{2}.

$$3\left(4x^{2}+4x+1\right)+10\left(2x+1\right)+3=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 4x^{2}+4x+1.

$$12x^{2}+12x+3+10\left(2x+1\right)+3=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 10 me 2x+1.

$$12x^{2}+12x+3+20x+10+3=0$$

Kombino 12x dhe 20x për të marrë 32x.

$$12x^{2}+32x+3+10+3=0$$

Shto 3 dhe 10 për të marrë 13.

$$12x^{2}+32x+13+3=0$$

Shto 13 dhe 3 për të marrë 16.

$$12x^{2}+32x+16=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 12, b me 32 dhe c me 16 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 16}}{2\times 12}$$

Ngri në fuqi të dytë 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 16}}{2\times 12}$$

Shumëzo -4 herë 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 16}}{2\times 12}$$

Shumëzo -48 herë 16.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-768}}{2\times 12}$$

Mblidh 1024 me -768.

$$x=\frac{-32±\sqrt{256}}{2\times 12}$$

Gjej rrënjën katrore të 256.

$$x=\frac{-32±16}{2\times 12}$$

Shumëzo 2 herë 12.

$$x=\frac{-32±16}{24}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-32±16}{24} kur ± është plus. Mblidh -32 me 16.

$$x=-\frac{16}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{-16}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-32±16}{24} kur ± është minus. Zbrit 16 nga -32.

$$x=-\frac{48}{24}$$

Pjesëto -48 me 24.

$$x=-2$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+1\right)^{2}.

$$3\left(4x^{2}+4x+1\right)+10\left(2x+1\right)+3=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 4x^{2}+4x+1.

$$12x^{2}+12x+3+10\left(2x+1\right)+3=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 10 me 2x+1.

$$12x^{2}+12x+3+20x+10+3=0$$

Kombino 12x dhe 20x për të marrë 32x.

$$12x^{2}+32x+3+10+3=0$$

Shto 3 dhe 10 për të marrë 13.

$$12x^{2}+32x+13+3=0$$

Shto 13 dhe 3 për të marrë 16.

$$12x^{2}+32x+16=0$$

Zbrit 16 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$12x^{2}+32x=-16$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{16}{12}$$

Pjesëtimi me 12 zhbën shumëzimin me 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{16}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{32}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{16}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-16}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Pjesëto \frac{8}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{4}{3}. Më pas mblidh katrorin e \frac{4}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{4}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{16}{9}$$

Mblidh -\frac{4}{3} me \frac{16}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktori x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}$$

Zbrit \frac{4}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$