Zgjidh 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Gjej x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10.333333333$$

$$x=12$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx-372. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -5.

$$a=-36 b=31$$

Rishkruaj 3x^{2}-5x-372 si \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe 31 në të dytin.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-12 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-12=0 dhe 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me -5 dhe c me -372 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Mblidh 25 me 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

E kundërta e -5 është 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{5±67}{6} kur ± është plus. Mblidh 5 me 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Pjesëto 72 me 6.

$$x=12$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{5±67}{6} kur ± është minus. Zbrit 67 nga 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{-62}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Mblidh 372 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Zbritja e -372 nga vetja e tij jep 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Zbrit -372 nga 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Pjesëto 372 me 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Pjesëto -\frac{5}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{5}{6}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{5}{6} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{5}{6} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Mblidh 124 me \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Faktori x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror i përsosur, ai mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Mblidh \frac{5}{6} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$