Zgjidh 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Gjej x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 138 nga të dyja anët.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx-138. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 5.

$$a=-18 b=23$$

Rishkruaj 3x^{2}+5x-138 si \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe 23 në të dytin.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-6 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-6=0 dhe 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3x^{2}+5x=138$$

Zbrit 138 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Zbritja e 138 nga vetja e tij jep 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me 5 dhe c me -138 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Mblidh 25 me 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-5±41}{6} kur ± është plus. Mblidh -5 me 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Pjesëto 36 me 6.

$$x=6$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-5±41}{6} kur ± është minus. Zbrit 41 nga -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{-46}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Pjesëto 138 me 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Pjesëto \frac{5}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{5}{6}. Më pas mblidh katrorin e \frac{5}{6} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{5}{6} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Mblidh 46 me \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktori x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Zbrit \frac{5}{6} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$