Zgjidh 3x^2+4x+1=0

$$3 { x }^{ 2 } +4x+1=0$$

Gjej x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=-1$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx+1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Vetëm një çift i tillë është zgjidhja e sistemit.

$$a=1 b=3$$

Rishkruaj 3x^{2}+4x+1 si \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Faktorizo x në 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x+1=0 dhe x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me 4 dhe c me 1 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Mblidh 16 me -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-4±2}{6} kur ± është plus. Mblidh -4 me 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{-2}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-4±2}{6} kur ± është minus. Zbrit 2 nga -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Pjesëto -6 me 6.

$$x=-1$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x^{2}+4x+1-1=-1$$

Zbritja e 1 nga vetja e tij jep 0.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Pjesëto \frac{4}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{2}{3}. Më pas mblidh katrorin e \frac{2}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{2}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Mblidh -\frac{1}{3} me \frac{4}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktori x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Zbrit \frac{2}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$