Zgjidh 27x^2-12x-4

$$27 x ^ { 2 } - 12 x - 4$$

Faktorizo

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 27x^{2}+ax+bx-4. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-12 ab=27\left(-4\right)=-108$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -12.

$$a=-18 b=6$$

Rishkruaj 27x^{2}-12x-4 si \left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right)$$

Faktorizo 9x në grupin e parë dhe 2 në të dytin.

$$9x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$27x^{2}-12x-4=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Ngri në fuqi të dytë -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Shumëzo -4 herë 27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-108\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Shumëzo -108 herë -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 27}$$

Mblidh 144 me 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 27}$$

Gjej rrënjën katrore të 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 27}$$

E kundërta e -12 është 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 27}$$

Shumëzo 2 herë 27.

$$x=\frac{12±24}{54}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{12±24}{54} kur ± është plus. Mblidh 12 me 24.

$$x=\frac{36}{54}$$

Thjeshto thyesën \frac{36}{54} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 18.

$$x=\frac{2}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{12±24}{54} kur ± është minus. Zbrit 24 nga 12.

$$x=-\frac{12}{54}$$

Thjeshto thyesën \frac{-12}{54} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=-\frac{2}{9}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{2}{3} për x_{1} dhe -\frac{2}{9} për x_{2}.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{9}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Zbrit \frac{2}{3} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Mblidh \frac{2}{9} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{9x+2}{9}$$

Shumëzo \frac{3x-2}{3} herë \frac{9x+2}{9} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{3\times 9}$$

Shumëzo 3 herë 9.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{27}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 27 në 27 dhe 27.

$$27x^{2}-12x-4=\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Vlerëso

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$