Zgjidh 25x^2-1+(5x+1)(2x+3)=0

$$25 x ^ { 2 } - 1 + ( 5 x + 1 ) ( 2 x + 3 ) = 0$$

Gjej x

$$x=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5x+1 me 2x+3 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$25x^{2}-1+10x^{2}+17x+3=0$$

Kombino 25x^{2} dhe 10x^{2} për të marrë 35x^{2}.

$$35x^{2}-1+17x+3=0$$

Shto -1 dhe 3 për të marrë 2.

$$35x^{2}+2+17x=0$$

Risistemo polinomin për ta vendosur në formën standarde. Renditi kufizat nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$35x^{2}+17x+2=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 35x^{2}+ax+bx+2. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=17 ab=35\times 2=70$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 70.

$$1,70 2,35 5,14 7,10$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+70=71 2+35=37 5+14=19 7+10=17$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 17.

$$a=7 b=10$$

Rishkruaj 35x^{2}+17x+2 si \left(35x^{2}+7x\right)+\left(10x+2\right).

$$\left(35x^{2}+7x\right)+\left(10x+2\right)$$

Faktorizo 7x në grupin e parë dhe 2 në të dytin.

$$7x\left(5x+1\right)+2\left(5x+1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5x+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5x+1\right)\left(7x+2\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 5x+1=0 dhe 7x+2=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-\frac{2}{7}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5x+1 me 2x+3 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$25x^{2}-1+10x^{2}+17x+3=0$$

Kombino 25x^{2} dhe 10x^{2} për të marrë 35x^{2}.

$$35x^{2}-1+17x+3=0$$

Shto -1 dhe 3 për të marrë 2.

$$35x^{2}+2+17x=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$35x^{2}+17x+2=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 35, b me 17 dhe c me 2 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 35\times 2}}{2\times 35}$$

Ngri në fuqi të dytë 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 35\times 2}}{2\times 35}$$

Shumëzo -4 herë 35.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-140\times 2}}{2\times 35}$$

Shumëzo -140 herë 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-280}}{2\times 35}$$

Mblidh 289 me -280.

$$x=\frac{-17±\sqrt{9}}{2\times 35}$$

Gjej rrënjën katrore të 9.

$$x=\frac{-17±3}{2\times 35}$$

Shumëzo 2 herë 35.

$$x=\frac{-17±3}{70}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-17±3}{70} kur ± është plus. Mblidh -17 me 3.

$$x=-\frac{14}{70}$$

Thjeshto thyesën \frac{-14}{70} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 14.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-17±3}{70} kur ± është minus. Zbrit 3 nga -17.

$$x=-\frac{20}{70}$$

Thjeshto thyesën \frac{-20}{70} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$x=-\frac{2}{7}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{1}{5} x=-\frac{2}{7}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5x+1 me 2x+3 dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$25x^{2}-1+10x^{2}+17x+3=0$$

Kombino 25x^{2} dhe 10x^{2} për të marrë 35x^{2}.

$$35x^{2}-1+17x+3=0$$

Shto -1 dhe 3 për të marrë 2.

$$35x^{2}+2+17x=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$35x^{2}+17x=-2$$

Pjesëto të dyja anët me 35.

$$\frac{35x^{2}+17x}{35}=-\frac{2}{35}$$

Pjesëtimi me 35 zhbën shumëzimin me 35.

$$x^{2}+\frac{17}{35}x=-\frac{2}{35}$$

Pjesëto \frac{17}{35}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{17}{70}. Më pas mblidh katrorin e \frac{17}{70} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{17}{35}x+\left(\frac{17}{70}\right)^{2}=-\frac{2}{35}+\left(\frac{17}{70}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{17}{70} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{17}{35}x+\frac{289}{4900}=-\frac{2}{35}+\frac{289}{4900}$$

Mblidh -\frac{2}{35} me \frac{289}{4900} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{17}{35}x+\frac{289}{4900}=\frac{9}{4900}$$

Faktori x^{2}+\frac{17}{35}x+\frac{289}{4900}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{70}\right)^{2}=\frac{9}{4900}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{70}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4900}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{17}{70}=\frac{3}{70} x+\frac{17}{70}=-\frac{3}{70}$$

Zbrit \frac{17}{70} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{1}{5} x=-\frac{2}{7}$$