Zgjidh 25r^2+10r+1

$$25 r ^ { 2 } + 10 r + 1$$

Faktorizo

$$\left(5r+1\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 25r^{2}+ar+br+1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=10 ab=25\times 1=25$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 25.

$$1,25 5,5$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+25=26 5+5=10$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 10.

$$a=5 b=5$$

Rishkruaj 25r^{2}+10r+1 si \left(25r^{2}+5r\right)+\left(5r+1\right).

$$\left(25r^{2}+5r\right)+\left(5r+1\right)$$

Faktorizo 5r në 25r^{2}+5r.

$$5r\left(5r+1\right)+5r+1$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5r+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5r+1\right)\left(5r+1\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(5r+1\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(25r^{2}+10r+1)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(25,10,1)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 25r^{2}.

$$\sqrt{25r^{2}}=5r$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(5r+1\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$25r^{2}+10r+1=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$r=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

Ngri në fuqi të dytë 10.

$$r=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

Shumëzo -4 herë 25.

$$r=\frac{-10±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

Mblidh 100 me -100.

$$r=\frac{-10±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$r=\frac{-10±0}{2\times 25}$$

Shumëzo 2 herë 25.

$$r=\frac{-10±0}{50}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{1}{5} për x_{1} dhe -\frac{1}{5} për x_{2}.

$$25r^{2}+10r+1=25\left(r-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)\left(r-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$25r^{2}+10r+1=25\left(r+\frac{1}{5}\right)\left(r+\frac{1}{5}\right)$$

Mblidh \frac{1}{5} me r duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$25r^{2}+10r+1=25\times \frac{5r+1}{5}\left(r+\frac{1}{5}\right)$$

Mblidh \frac{1}{5} me r duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$25r^{2}+10r+1=25\times \frac{5r+1}{5}\times \frac{5r+1}{5}$$

Shumëzo \frac{5r+1}{5} herë \frac{5r+1}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$25r^{2}+10r+1=25\times \frac{\left(5r+1\right)\left(5r+1\right)}{5\times 5}$$

Shumëzo 5 herë 5.

$$25r^{2}+10r+1=25\times \frac{\left(5r+1\right)\left(5r+1\right)}{25}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 25 në 25 dhe 25.

$$25r^{2}+10r+1=\left(5r+1\right)\left(5r+1\right)$$

Vlerëso

$$\left(5r+1\right)^{2}$$