Zgjidh 25n^2-30n+9

$$25 n ^ { 2 } - 30 n + 9$$

Faktorizo

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 25n^{2}+an+bn+9. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -30.

$$a=-15 b=-15$$

Rishkruaj 25n^{2}-30n+9 si \left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right).

$$\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right)$$

Faktorizo 5n në grupin e parë dhe -3 në të dytin.

$$5n\left(5n-3\right)-3\left(5n-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5n-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(25n^{2}-30n+9)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(25,-30,9)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 25n^{2}.

$$\sqrt{25n^{2}}=5n$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së fundit, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$25n^{2}-30n+9=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Ngri në fuqi të dytë -30.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Shumëzo -4 herë 25.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Shumëzo -100 herë 9.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Mblidh 900 me -900.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±0}{2\times 25}$$

E kundërta e -30 është 30.

$$n=\frac{30±0}{2\times 25}$$

Shumëzo 2 herë 25.

$$n=\frac{30±0}{50}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{3}{5} për x_{1} dhe \frac{3}{5} për x_{2}.

$$25n^{2}-30n+9=25\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Zbrit \frac{3}{5} nga n duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Zbrit \frac{3}{5} nga n duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{5n-3}{5}$$

Shumëzo \frac{5n-3}{5} herë \frac{5n-3}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{5\times 5}$$

Shumëzo 5 herë 5.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{25}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 25 në 25 dhe 25.

$$25n^{2}-30n+9=\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Vlerëso

$$\left(5n-3\right)^{2}$$