Zgjidh 25b^2+90b+81

$$25 b ^ { 2 } + 90 b + 81$$

Faktorizo

$$\left(5b+9\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 25b^{2}+pb+qb+81. Për të gjetur p dhe q, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$p+q=90 pq=25\times 81=2025$$

Meqenëse pq është pozitive, p dhe q kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse p+q është pozitive, p dhe q janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 90.

$$p=45 q=45$$

Rishkruaj 25b^{2}+90b+81 si \left(25b^{2}+45b\right)+\left(45b+81\right).

$$\left(25b^{2}+45b\right)+\left(45b+81\right)$$

Faktorizo 5b në grupin e parë dhe 9 në të dytin.

$$5b\left(5b+9\right)+9\left(5b+9\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5b+9 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5b+9\right)\left(5b+9\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(5b+9\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(25b^{2}+90b+81)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(25,90,81)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 25b^{2}.

$$\sqrt{25b^{2}}=5b$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së fundit, 81.

$$\sqrt{81}=9$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(5b+9\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$25b^{2}+90b+81=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$b=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 25\times 81}}{2\times 25}$$

Ngri në fuqi të dytë 90.

$$b=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 25\times 81}}{2\times 25}$$

Shumëzo -4 herë 25.

$$b=\frac{-90±\sqrt{8100-100\times 81}}{2\times 25}$$

Shumëzo -100 herë 81.

$$b=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 25}$$

Mblidh 8100 me -8100.

$$b=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$b=\frac{-90±0}{2\times 25}$$

Shumëzo 2 herë 25.

$$b=\frac{-90±0}{50}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{9}{5} për x_{1} dhe -\frac{9}{5} për x_{2}.

$$25b^{2}+90b+81=25\left(b-\left(-\frac{9}{5}\right)\right)\left(b-\left(-\frac{9}{5}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$25b^{2}+90b+81=25\left(b+\frac{9}{5}\right)\left(b+\frac{9}{5}\right)$$

Mblidh \frac{9}{5} me b duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$25b^{2}+90b+81=25\times \frac{5b+9}{5}\left(b+\frac{9}{5}\right)$$

Mblidh \frac{9}{5} me b duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$25b^{2}+90b+81=25\times \frac{5b+9}{5}\times \frac{5b+9}{5}$$

Shumëzo \frac{5b+9}{5} herë \frac{5b+9}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$25b^{2}+90b+81=25\times \frac{\left(5b+9\right)\left(5b+9\right)}{5\times 5}$$

Shumëzo 5 herë 5.

$$25b^{2}+90b+81=25\times \frac{\left(5b+9\right)\left(5b+9\right)}{25}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 25 në 25 dhe 25.

$$25b^{2}+90b+81=\left(5b+9\right)\left(5b+9\right)$$

Vlerëso

$$\left(5b+9\right)^{2}$$