Zgjidh 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Gjej k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 12k^{2}+ak+bk+12. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 25.

$$a=9 b=16$$

Rishkruaj 12k^{2}+25k+12 si \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Faktorizo 3k në grupin e parë dhe 4 në të dytin.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 4k+3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 4k+3=0 dhe 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 24, b me 50 dhe c me 24 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Ngri në fuqi të dytë 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Shumëzo -4 herë 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Shumëzo -96 herë 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Mblidh 2500 me -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Gjej rrënjën katrore të 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Shumëzo 2 herë 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Tani zgjidhe ekuacionin k=\frac{-50±14}{48} kur ± është plus. Mblidh -50 me 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Thjeshto thyesën \frac{-36}{48} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin k=\frac{-50±14}{48} kur ± është minus. Zbrit 14 nga -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Thjeshto thyesën \frac{-64}{48} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Zbrit 24 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Zbritja e 24 nga vetja e tij jep 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Pjesëto të dyja anët me 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Pjesëtimi me 24 zhbën shumëzimin me 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{50}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Pjesëto -24 me 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Pjesëto \frac{25}{12}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{25}{24}. Më pas mblidh katrorin e \frac{25}{24} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{25}{24} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Mblidh -1 me \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Faktori k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Thjeshto.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Zbrit \frac{25}{24} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$