Zgjidh 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Gjej x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 20x^{2}+ax+bx-1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -1.

$$a=-5 b=4$$

Rishkruaj 20x^{2}-x-1 si \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Faktorizo 5x në 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 4x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 4x-1=0 dhe 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 20, b me -1 dhe c me -1 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Shumëzo -4 herë 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Shumëzo -80 herë -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Mblidh 1 me 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Gjej rrënjën katrore të 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

E kundërta e -1 është 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Shumëzo 2 herë 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±9}{40} kur ± është plus. Mblidh 1 me 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Thjeshto thyesën \frac{10}{40} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±9}{40} kur ± është minus. Zbrit 9 nga 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Thjeshto thyesën \frac{-8}{40} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Zbritja e -1 nga vetja e tij jep 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Zbrit -1 nga 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Pjesëto të dyja anët me 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Pjesëtimi me 20 zhbën shumëzimin me 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Pjesëto -\frac{1}{20}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{40}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{40} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{40} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Mblidh \frac{1}{20} me \frac{1}{1600} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Faktori x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Mblidh \frac{1}{40} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$