Zgjidh 2x-3y=-1text{and}y=x-1

$$2 x - 3 y = - 1 \text { and } y = x - 1$$

Gjej x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=-1$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y-1$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{3y-1}{2} në ekuacionin tjetër, -x+y=-1.

$$-\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=-1$$

Shumëzo -1 herë \frac{3y-1}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}+y=-1$$

Mblidh -\frac{3y}{2} me y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=-1$$

Zbrit \frac{1}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Shumëzo të dyja anët me -2.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë 3.

$$x=\frac{9-1}{2}$$

Mblidh -\frac{1}{2} me \frac{9}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)-3\left(-1\right)\\-\left(-1\right)-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=4,y=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=-1,-x+y=-1$$

Për ta bërë 2x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-2x-\left(-3y\right)=-\left(-1\right),2\left(-1\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

Thjeshto.

$$-2x+3y=1,-2x+2y=-2$$

Zbrit -2x+2y=-2 nga -2x+3y=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2x+2x+3y-2y=1+2$$

Mblidh -2x me 2x. Shprehjet -2x dhe 2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3y-2y=1+2$$

Mblidh 3y me -2y.

$$y=1+2$$

Mblidh 1 me 2.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në -x+y=-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+3=-1$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-4$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=4,y=3$$