Zgjidh 2x^2-x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=3$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 2x^{2}+ax+bx-15. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -1.

$$a=-6 b=5$$

Rishkruaj 2x^{2}-x-15 si \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-3=0 dhe 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 2, b me -1 dhe c me -15 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

Mblidh 1 me 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

E kundërta e -1 është 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±11}{4} kur ± është plus. Mblidh 1 me 11.

$$x=\frac{12}{4}$$

Pjesëto 12 me 4.

$$x=3$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{1±11}{4} kur ± është minus. Zbrit 11 nga 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-10}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Mblidh 15 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Zbritja e -15 nga vetja e tij jep 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

Zbrit -15 nga 0.

$$2x^{2}-x=15$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

Pjesëtimi me 2 zhbën shumëzimin me 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

Pjesëto -\frac{1}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{4}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Mblidh \frac{15}{2} me \frac{1}{16} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktori x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Mblidh \frac{1}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$