Zgjidh 2x^2-3x-54=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 54 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=6$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 2x^{2}+ax+bx-54. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-3 ab=2\left(-54\right)=-108$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -3.

$$a=-12 b=9$$

Rishkruaj 2x^{2}-3x-54 si \left(2x^{2}-12x\right)+\left(9x-54\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(9x-54\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 9 në të dytin.

$$2x\left(x-6\right)+9\left(x-6\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-6 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-6\right)\left(2x+9\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-6=0 dhe 2x+9=0.

$$x=6 x=-\frac{9}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$2x^{2}-3x-54=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 2, b me -3 dhe c me -54 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -54.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2\times 2}$$

Mblidh 9 me 432.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 441.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2\times 2}$$

E kundërta e -3 është 3.

$$x=\frac{3±21}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=\frac{3±21}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{3±21}{4} kur ± është plus. Mblidh 3 me 21.

$$x=\frac{24}{4}$$

Pjesëto 24 me 4.

$$x=6$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{3±21}{4} kur ± është minus. Zbrit 21 nga 3.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-18}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=6 x=-\frac{9}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-54=0$$

Mblidh 54 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x^{2}-3x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Zbritja e -54 nga vetja e tij jep 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-54\right)$$

Zbrit -54 nga 0.

$$2x^{2}-3x=54$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{54}{2}$$

Pjesëtimi me 2 zhbën shumëzimin me 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{54}{2}$$

Pjesëto 54 me 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=27$$

Pjesëto -\frac{3}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{3}{4}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{3}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=27+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{3}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=27+\frac{9}{16}$$

Mblidh 27 me \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktori x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{21}{4}$$

Mblidh \frac{3}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=6 x=-\frac{9}{2}$$