Zgjidh 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

Gjej x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 2x^{2}+ax+bx-15. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 7.

$$a=-3 b=10$$

Rishkruaj 2x^{2}+7x-15 si \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-3=0 dhe x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 2, b me 7 dhe c me -15 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Mblidh 49 me 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±13}{4} kur ± është plus. Mblidh -7 me 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{6}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±13}{4} kur ± është minus. Zbrit 13 nga -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Pjesëto -20 me 4.

$$x=-5$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Mblidh 15 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Zbritja e -15 nga vetja e tij jep 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

Zbrit -15 nga 0.

$$2x^{2}+7x=15$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

Pjesëtimi me 2 zhbën shumëzimin me 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Pjesëto \frac{7}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{7}{4}. Më pas mblidh katrorin e \frac{7}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{7}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Mblidh \frac{15}{2} me \frac{49}{16} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktori x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Zbrit \frac{7}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$