Zgjidh 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$x=6$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 2x^{2}+ax+bx-90. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 3.

$$a=-12 b=15$$

Rishkruaj 2x^{2}+3x-90 si \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 15 në të dytin.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-6 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-6=0 dhe 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 2, b me 3 dhe c me -90 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Mblidh 9 me 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-3±27}{4} kur ± është plus. Mblidh -3 me 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Pjesëto 24 me 4.

$$x=6$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-3±27}{4} kur ± është minus. Zbrit 27 nga -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-30}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Mblidh 90 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Zbritja e -90 nga vetja e tij jep 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Zbrit -90 nga 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Pjesëtimi me 2 zhbën shumëzimin me 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Pjesëto 90 me 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Pjesëto \frac{3}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{3}{4}. Më pas mblidh katrorin e \frac{3}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{3}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Mblidh 45 me \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Faktori x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Zbrit \frac{3}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$