Zgjidh 2x^2+11x+15

$$2 x ^ { 2 } + 11 x + 15$$

Faktorizo

$$\left(x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 2x^{2}+ax+bx+15. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=11 ab=2\times 15=30$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 11.

$$a=5 b=6$$

Rishkruaj 2x^{2}+11x+15 si \left(2x^{2}+5x\right)+\left(6x+15\right).

$$\left(2x^{2}+5x\right)+\left(6x+15\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$x\left(2x+5\right)+3\left(2x+5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x+5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x+5\right)\left(x+3\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+11x+15=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 15}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 2}$$

Mblidh 121 me -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=\frac{-11±1}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-11±1}{4} kur ± është plus. Mblidh -11 me 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-10}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-11±1}{4} kur ± është minus. Zbrit 1 nga -11.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Pjesëto -12 me 4.

$$x=-3$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{5}{2} për x_{1} dhe -3 për x_{2}.

$$2x^{2}+11x+15=2\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$2x^{2}+11x+15=2\left(x+\frac{5}{2}\right)\left(x+3\right)$$

Mblidh \frac{5}{2} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$2x^{2}+11x+15=2\times \frac{2x+5}{2}\left(x+3\right)$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 2 në 2 dhe 2.

$$2x^{2}+11x+15=\left(2x+5\right)\left(x+3\right)$$

Vlerëso

$$\left(x+3\right)\left(2x+5\right)$$