Zgjidh 2x+sqrt{x+1}=8

$$2 x + \sqrt { x + 1 } = 8$$

Gjej x

$$x=3$$

Hapat e zgjidhjes

Zbrit 2x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\sqrt{x+1}=8-2x$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(8-2x\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x+1} në fuqi të 2 dhe merr x+1.

$$x+1=\left(8-2x\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(8-2x\right)^{2}.

$$x+1=64-32x+4x^{2}$$

Zbrit 64 nga të dyja anët.

$$x+1-64=-32x+4x^{2}$$

Zbrit 64 nga 1 për të marrë -63.

$$x-63=-32x+4x^{2}$$

Shto 32x në të dyja anët.

$$x-63+32x=4x^{2}$$

Kombino x dhe 32x për të marrë 33x.

$$33x-63=4x^{2}$$

Zbrit 4x^{2} nga të dyja anët.

$$33x-63-4x^{2}=0$$

Risistemo polinomin për ta vendosur në formën standarde. Renditi kufizat nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$-4x^{2}+33x-63=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -4x^{2}+ax+bx-63. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=33 ab=-4\left(-63\right)=252$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 252.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 33.

$$a=21 b=12$$

Rishkruaj -4x^{2}+33x-63 si \left(-4x^{2}+21x\right)+\left(12x-63\right).

$$\left(-4x^{2}+21x\right)+\left(12x-63\right)$$

Faktorizo -x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$-x\left(4x-21\right)+3\left(4x-21\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 4x-21 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(4x-21\right)\left(-x+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 4x-21=0 dhe -x+3=0.

$$x=\frac{21}{4} x=3$$

Zëvendëso \frac{21}{4} me x në ekuacionin 2x+\sqrt{x+1}=8.

$$2\times \frac{21}{4}+\sqrt{\frac{21}{4}+1}=8$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{21}{4} nuk e vërteton ekuacionin.

$$13=8$$

Zëvendëso 3 me x në ekuacionin 2x+\sqrt{x+1}=8.

$$2\times 3+\sqrt{3+1}=8$$

Thjeshto. Vlera x=3 vërteton ekuacionin.

$$8=8$$

Ekuacioni \sqrt{x+1}=8-2x ka një zgjidhje unike.

$$x=3$$