Zgjidh 2t^2-3t-9=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

Gjej t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$t=3$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 2t^{2}+at+bt-9. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -3.

$$a=-6 b=3$$

Rishkruaj 2t^{2}-3t-9 si \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

Faktorizo 2t në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët t-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh t-3=0 dhe 2t+3=0.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 2, b me -3 dhe c me -9 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë -3.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -9.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

Mblidh 9 me 72.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 81.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

E kundërta e -3 është 3.

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$t=\frac{3±9}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin t=\frac{3±9}{4} kur ± është plus. Mblidh 3 me 9.

$$t=\frac{12}{4}$$

Pjesëto 12 me 4.

$$t=3$$

Tani zgjidhe ekuacionin t=\frac{3±9}{4} kur ± është minus. Zbrit 9 nga 3.

$$t=-\frac{6}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-6}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Mblidh 9 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Zbritja e -9 nga vetja e tij jep 0.

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

Zbrit -9 nga 0.

$$2t^{2}-3t=9$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

Pjesëtimi me 2 zhbën shumëzimin me 2.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

Pjesëto -\frac{3}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{3}{4}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{3}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{3}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

Mblidh \frac{9}{2} me \frac{9}{16} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktori t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Thjeshto.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

Mblidh \frac{3}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$