Zgjidh 2n^2-7n-345=0

$$2 n ^ { 2 } - 7 n - 345 = 0$$

Gjej n

$$n = -\frac{23}{2} = -11\frac{1}{2} = -11.5$$

$$n=15$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 2n^{2}+an+bn-345. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-7 ab=2\left(-345\right)=-690$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -690.

$$1,-690 2,-345 3,-230 5,-138 6,-115 10,-69 15,-46 23,-30$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-690=-689 2-345=-343 3-230=-227 5-138=-133 6-115=-109 10-69=-59 15-46=-31 23-30=-7$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -7.

$$a=-30 b=23$$

Rishkruaj 2n^{2}-7n-345 si \left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right).

$$\left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right)$$

Faktorizo 2n në grupin e parë dhe 23 në të dytin.

$$2n\left(n-15\right)+23\left(n-15\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët n-15 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(n-15\right)\left(2n+23\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-15=0 dhe 2n+23=0.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 2, b me -7 dhe c me -345 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -345.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+2760}}{2\times 2}$$

Mblidh 49 me 2760.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{2809}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 2809.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±53}{2\times 2}$$

E kundërta e -7 është 7.

$$n=\frac{7±53}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$n=\frac{7±53}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{7±53}{4} kur ± është plus. Mblidh 7 me 53.

$$n=\frac{60}{4}$$

Pjesëto 60 me 4.

$$n=15$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{7±53}{4} kur ± është minus. Zbrit 53 nga 7.

$$n=-\frac{46}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-46}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$n=-\frac{23}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

Mblidh 345 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2n^{2}-7n-345-\left(-345\right)=-\left(-345\right)$$

Zbritja e -345 nga vetja e tij jep 0.

$$2n^{2}-7n=-\left(-345\right)$$

Zbrit -345 nga 0.

$$2n^{2}-7n=345$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$\frac{2n^{2}-7n}{2}=\frac{345}{2}$$

Pjesëtimi me 2 zhbën shumëzimin me 2.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n=\frac{345}{2}$$

Pjesëto -\frac{7}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{7}{4}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{7}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{345}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{7}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{345}{2}+\frac{49}{16}$$

Mblidh \frac{345}{2} me \frac{49}{16} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{2809}{16}$$

Faktori n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{2809}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2809}{16}}$$

Thjeshto.

$$n-\frac{7}{4}=\frac{53}{4} n-\frac{7}{4}=-\frac{53}{4}$$

Mblidh \frac{7}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$