Zgjidh 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Gjej k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Shto 7 në të dyja anët.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 2k^{2}+ak+bk+7. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 14.

$$1,14 2,7$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+14=15 2+7=9$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 9.

$$a=2 b=7$$

Rishkruaj 2k^{2}+9k+7 si \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Faktorizo 2k në grupin e parë dhe 7 në të dytin.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët k+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh k+1=0 dhe 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Mblidh 7 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Zbritja e -7 nga vetja e tij jep 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Zbrit -7 nga 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 2, b me 9 dhe c me 7 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Mblidh 81 me -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin k=\frac{-9±5}{4} kur ± është plus. Mblidh -9 me 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Pjesëto -4 me 4.

$$k=-1$$

Tani zgjidhe ekuacionin k=\frac{-9±5}{4} kur ± është minus. Zbrit 5 nga -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-14}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Pjesëtimi me 2 zhbën shumëzimin me 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Pjesëto \frac{9}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{9}{4}. Më pas mblidh katrorin e \frac{9}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{9}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Mblidh -\frac{7}{2} me \frac{81}{16} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Faktori k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Thjeshto.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Zbrit \frac{9}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$