Zgjidh 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Gjej x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 2x^{2}+ax+bx-40. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -11.

$$a=-16 b=5$$

Rishkruaj 2x^{2}-11x-40 si \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-8 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-8=0 dhe 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 2, b me -11 dhe c me -40 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Mblidh 121 me 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

E kundërta e -11 është 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{11±21}{4} kur ± është plus. Mblidh 11 me 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Pjesëto 32 me 4.

$$x=8$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{11±21}{4} kur ± është minus. Zbrit 21 nga 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-10}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Mblidh 40 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Zbritja e -40 nga vetja e tij jep 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Zbrit -40 nga 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Pjesëtimi me 2 zhbën shumëzimin me 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Pjesëto 40 me 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Pjesëto -\frac{11}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{11}{4}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{11}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{11}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Mblidh 20 me \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktori x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Mblidh \frac{11}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$