Zgjidh 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Gjej x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=4$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 30 nga të dyja anët.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Zbrit 30 nga -6 për të marrë -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 2x^{2}+ax+bx-36. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 1.

$$a=-8 b=9$$

Rishkruaj 2x^{2}+x-36 si \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 9 në të dytin.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-4 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-4=0 dhe 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Zbrit 30 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Zbritja e 30 nga vetja e tij jep 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Zbrit 30 nga -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 2, b me 1 dhe c me -36 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Mblidh 1 me 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-1±17}{4} kur ± është plus. Mblidh -1 me 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Pjesëto 16 me 4.

$$x=4$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-1±17}{4} kur ± është minus. Zbrit 17 nga -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-18}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Zbritja e -6 nga vetja e tij jep 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Zbrit -6 nga 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

Pjesëtimi me 2 zhbën shumëzimin me 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Pjesëto 36 me 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Pjesëto \frac{1}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{1}{4}. Më pas mblidh katrorin e \frac{1}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{1}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Mblidh 18 me \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Faktori x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Zbrit \frac{1}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$