Zgjidh 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Gjej x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 18x^{2}+ax+bx-5. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -9.

$$a=-15 b=6$$

Rishkruaj 18x^{2}-9x-5 si \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Faktorizo 3x në 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 6x-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 6x-5=0 dhe 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 18, b me -9 dhe c me -5 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Ngri në fuqi të dytë -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Shumëzo -4 herë 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Shumëzo -72 herë -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Mblidh 81 me 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Gjej rrënjën katrore të 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

E kundërta e -9 është 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Shumëzo 2 herë 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{9±21}{36} kur ± është plus. Mblidh 9 me 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Thjeshto thyesën \frac{30}{36} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{9±21}{36} kur ± është minus. Zbrit 21 nga 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Thjeshto thyesën \frac{-12}{36} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Mblidh 5 në të dyja anët e ekuacionit.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Zbritja e -5 nga vetja e tij jep 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Zbrit -5 nga 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Pjesëtimi me 18 zhbën shumëzimin me 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Thjeshto thyesën \frac{-9}{18} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Pjesëto -\frac{1}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{4}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Mblidh \frac{5}{18} me \frac{1}{16} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Faktori x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror i përsosur, ai mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Mblidh \frac{1}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$