Zgjidh 16x^2+74x+9=0

$$16 x ^ { 2 } + 74 x + 9 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=-\frac{1}{8}=-0.125$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 16x^{2}+ax+bx+9. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=74 ab=16\times 9=144$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 74.

$$a=2 b=72$$

Rishkruaj 16x^{2}+74x+9 si \left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right).

$$\left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 9 në të dytin.

$$2x\left(8x+1\right)+9\left(8x+1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 8x+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(8x+1\right)\left(2x+9\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 8x+1=0 dhe 2x+9=0.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 16, b me 74 dhe c me 9 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-74±\sqrt{74^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Ngri në fuqi të dytë 74.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Shumëzo -4 herë 16.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-64\times 9}}{2\times 16}$$

Shumëzo -64 herë 9.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-576}}{2\times 16}$$

Mblidh 5476 me -576.

$$x=\frac{-74±\sqrt{4900}}{2\times 16}$$

Gjej rrënjën katrore të 4900.

$$x=\frac{-74±70}{2\times 16}$$

Shumëzo 2 herë 16.

$$x=\frac{-74±70}{32}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-74±70}{32} kur ± është plus. Mblidh -74 me 70.

$$x=-\frac{4}{32}$$

Thjeshto thyesën \frac{-4}{32} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{1}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-74±70}{32} kur ± është minus. Zbrit 70 nga -74.

$$x=-\frac{144}{32}$$

Thjeshto thyesën \frac{-144}{32} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 16.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

Zbrit 9 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$16x^{2}+74x+9-9=-9$$

Zbritja e 9 nga vetja e tij jep 0.

$$16x^{2}+74x=-9$$

Pjesëto të dyja anët me 16.

$$\frac{16x^{2}+74x}{16}=-\frac{9}{16}$$

Pjesëtimi me 16 zhbën shumëzimin me 16.

$$x^{2}+\frac{74}{16}x=-\frac{9}{16}$$

Thjeshto thyesën \frac{74}{16} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x=-\frac{9}{16}$$

Pjesëto \frac{37}{8}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{37}{16}. Më pas mblidh katrorin e \frac{37}{16} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{37}{16} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=-\frac{9}{16}+\frac{1369}{256}$$

Mblidh -\frac{9}{16} me \frac{1369}{256} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=\frac{1225}{256}$$

Faktori x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}=\frac{1225}{256}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{256}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{37}{16}=\frac{35}{16} x+\frac{37}{16}=-\frac{35}{16}$$

Zbrit \frac{37}{16} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$