Zgjidh 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 16x^{2}+ax+bx-9. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 10.

$$a=-8 b=18$$

Rishkruaj 16x^{2}+10x-9 si \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Faktorizo 8x në grupin e parë dhe 9 në të dytin.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-1=0 dhe 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 16, b me 10 dhe c me -9 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Ngri në fuqi të dytë 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Shumëzo -4 herë 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Shumëzo -64 herë -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Mblidh 100 me 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Gjej rrënjën katrore të 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Shumëzo 2 herë 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-10±26}{32} kur ± është plus. Mblidh -10 me 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Thjeshto thyesën \frac{16}{32} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-10±26}{32} kur ± është minus. Zbrit 26 nga -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Thjeshto thyesën \frac{-36}{32} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Mblidh 9 në të dyja anët e ekuacionit.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Zbritja e -9 nga vetja e tij jep 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Zbrit -9 nga 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Pjesëto të dyja anët me 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Pjesëtimi me 16 zhbën shumëzimin me 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Thjeshto thyesën \frac{10}{16} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Pjesëto \frac{5}{8}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{5}{16}. Më pas mblidh katrorin e \frac{5}{16} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{5}{16} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Mblidh \frac{9}{16} me \frac{25}{256} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Faktori x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Zbrit \frac{5}{16} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$