Zgjidh 16m^2+49m+3=0

$$16 m ^ { 2 } + 49 m + 3 = 0$$

Gjej m

$$m=-3$$

$$m=-\frac{1}{16}=-0.0625$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 16m^{2}+am+bm+3. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=49 ab=16\times 3=48$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 48.

$$1,48 2,24 3,16 4,12 6,8$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+48=49 2+24=26 3+16=19 4+12=16 6+8=14$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 49.

$$a=1 b=48$$

Rishkruaj 16m^{2}+49m+3 si \left(16m^{2}+m\right)+\left(48m+3\right).

$$\left(16m^{2}+m\right)+\left(48m+3\right)$$

Faktorizo m në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$m\left(16m+1\right)+3\left(16m+1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 16m+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(16m+1\right)\left(m+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 16m+1=0 dhe m+3=0.

$$m=-\frac{1}{16} m=-3$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$16m^{2}+49m+3=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 16, b me 49 dhe c me 3 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\times 16\times 3}}{2\times 16}$$

Ngri në fuqi të dytë 49.

$$m=\frac{-49±\sqrt{2401-4\times 16\times 3}}{2\times 16}$$

Shumëzo -4 herë 16.

$$m=\frac{-49±\sqrt{2401-64\times 3}}{2\times 16}$$

Shumëzo -64 herë 3.

$$m=\frac{-49±\sqrt{2401-192}}{2\times 16}$$

Mblidh 2401 me -192.

$$m=\frac{-49±\sqrt{2209}}{2\times 16}$$

Gjej rrënjën katrore të 2209.

$$m=\frac{-49±47}{2\times 16}$$

Shumëzo 2 herë 16.

$$m=\frac{-49±47}{32}$$

Tani zgjidhe ekuacionin m=\frac{-49±47}{32} kur ± është plus. Mblidh -49 me 47.

$$m=-\frac{2}{32}$$

Thjeshto thyesën \frac{-2}{32} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$m=-\frac{1}{16}$$

Tani zgjidhe ekuacionin m=\frac{-49±47}{32} kur ± është minus. Zbrit 47 nga -49.

$$m=-\frac{96}{32}$$

Pjesëto -96 me 32.

$$m=-3$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$m=-\frac{1}{16} m=-3$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$16m^{2}+49m+3=0$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$16m^{2}+49m+3-3=-3$$

Zbritja e 3 nga vetja e tij jep 0.

$$16m^{2}+49m=-3$$

Pjesëto të dyja anët me 16.

$$\frac{16m^{2}+49m}{16}=-\frac{3}{16}$$

Pjesëtimi me 16 zhbën shumëzimin me 16.

$$m^{2}+\frac{49}{16}m=-\frac{3}{16}$$

Pjesëto \frac{49}{16}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{49}{32}. Më pas mblidh katrorin e \frac{49}{32} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$m^{2}+\frac{49}{16}m+\left(\frac{49}{32}\right)^{2}=-\frac{3}{16}+\left(\frac{49}{32}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{49}{32} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$m^{2}+\frac{49}{16}m+\frac{2401}{1024}=-\frac{3}{16}+\frac{2401}{1024}$$

Mblidh -\frac{3}{16} me \frac{2401}{1024} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$m^{2}+\frac{49}{16}m+\frac{2401}{1024}=\frac{2209}{1024}$$

Faktori m^{2}+\frac{49}{16}m+\frac{2401}{1024}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m+\frac{49}{32}\right)^{2}=\frac{2209}{1024}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(m+\frac{49}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{1024}}$$

Thjeshto.

$$m+\frac{49}{32}=\frac{47}{32} m+\frac{49}{32}=-\frac{47}{32}$$

Zbrit \frac{49}{32} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$m=-\frac{1}{16} m=-3$$