Zgjidh 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

Gjej y

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 15y^{2}+ay+by+1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 15.

$$1,15 3,5$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+15=16 3+5=8$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 8.

$$a=3 b=5$$

Rishkruaj 15y^{2}+8y+1 si \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

Faktorizo 3y në 15y^{2}+3y.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5y+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 5y+1=0 dhe 3y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 15, b me 8 dhe c me 1 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Ngri në fuqi të dytë 8.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

Shumëzo -4 herë 15.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

Mblidh 64 me -60.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

Gjej rrënjën katrore të 4.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

Shumëzo 2 herë 15.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-8±2}{30} kur ± është plus. Mblidh -8 me 2.

$$y=-\frac{6}{30}$$

Thjeshto thyesën \frac{-6}{30} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-8±2}{30} kur ± është minus. Zbrit 2 nga -8.

$$y=-\frac{10}{30}$$

Thjeshto thyesën \frac{-10}{30} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

Zbritja e 1 nga vetja e tij jep 0.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

Pjesëtimi me 15 zhbën shumëzimin me 15.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

Pjesëto \frac{8}{15}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{4}{15}. Më pas mblidh katrorin e \frac{4}{15} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{4}{15} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Mblidh -\frac{1}{15} me \frac{16}{225} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Faktori y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Thjeshto.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Zbrit \frac{4}{15} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$