Zgjidh 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Gjej x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 15x^{2}+ax+bx+2. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 11.

$$a=5 b=6$$

Rishkruaj 15x^{2}+11x+2 si \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Faktorizo 5x në grupin e parë dhe 2 në të dytin.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x+1=0 dhe 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 15, b me 11 dhe c me 2 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Ngri në fuqi të dytë 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Shumëzo -4 herë 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Shumëzo -60 herë 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Mblidh 121 me -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Gjej rrënjën katrore të 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Shumëzo 2 herë 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-11±1}{30} kur ± është plus. Mblidh -11 me 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Thjeshto thyesën \frac{-10}{30} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-11±1}{30} kur ± është minus. Zbrit 1 nga -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Thjeshto thyesën \frac{-12}{30} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Zbritja e 2 nga vetja e tij jep 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Pjesëtimi me 15 zhbën shumëzimin me 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Pjesëto \frac{11}{15}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{11}{30}. Më pas mblidh katrorin e \frac{11}{30} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{11}{30} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Mblidh -\frac{2}{15} me \frac{121}{900} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Faktori x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror i përsosur, ai mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Zbrit \frac{11}{30} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$