Zgjidh 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Faktorizo

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 15x^{2}+ax+bx-16. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -8.

$$a=-20 b=12$$

Rishkruaj 15x^{2}-8x-16 si \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Faktorizo 5x në grupin e parë dhe 4 në të dytin.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-4 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Ngri në fuqi të dytë -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Shumëzo -4 herë 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Shumëzo -60 herë -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Mblidh 64 me 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Gjej rrënjën katrore të 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

E kundërta e -8 është 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Shumëzo 2 herë 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{8±32}{30} kur ± është plus. Mblidh 8 me 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Thjeshto thyesën \frac{40}{30} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{8±32}{30} kur ± është minus. Zbrit 32 nga 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Thjeshto thyesën \frac{-24}{30} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{4}{3} për x_{1} dhe -\frac{4}{5} për x_{2}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Zbrit \frac{4}{3} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Mblidh \frac{4}{5} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Shumëzo \frac{3x-4}{3} herë \frac{5x+4}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Shumëzo 3 herë 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 15 në 15 dhe 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Vlerëso

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$