Zgjidh 15x^2+7x-4

$$15 { x }^{ 2 } +7x-4$$

Faktorizo

$$\left(3x-1\right)\left(5x+4\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 15x^{2}+ax+bx-4. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=7 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 7.

$$a=-5 b=12$$

Rishkruaj 15x^{2}+7x-4 si \left(15x^{2}-5x\right)+\left(12x-4\right).

$$\left(15x^{2}-5x\right)+\left(12x-4\right)$$

Faktorizo 5x në grupin e parë dhe 4 në të dytin.

$$5x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+4\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}+7x-4=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Ngri në fuqi të dytë 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Shumëzo -4 herë 15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Shumëzo -60 herë -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2\times 15}$$

Mblidh 49 me 240.

$$x=\frac{-7±\sqrt{289}}{2\times 15}$$

Gjej rrënjën katrore të 289.

$$x=\frac{-7±17}{2\times 15}$$

Shumëzo 2 herë 15.

$$x=\frac{-7±17}{30}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±17}{30} kur ± është plus. Mblidh -7 me 17.

$$x=\frac{10}{30}$$

Thjeshto thyesën \frac{10}{30} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$x=\frac{1}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±17}{30} kur ± është minus. Zbrit 17 nga -7.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Thjeshto thyesën \frac{-24}{30} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{1}{3} për x_{1} dhe -\frac{4}{5} për x_{2}.

$$15x^{2}+7x-4=15\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$15x^{2}+7x-4=15\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Zbrit \frac{1}{3} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$15x^{2}+7x-4=15\times \frac{3x-1}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Mblidh \frac{4}{5} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$15x^{2}+7x-4=15\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Shumëzo \frac{3x-1}{3} herë \frac{5x+4}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$15x^{2}+7x-4=15\times \frac{\left(3x-1\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Shumëzo 3 herë 5.

$$15x^{2}+7x-4=15\times \frac{\left(3x-1\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 15 në 15 dhe 15.

$$15x^{2}+7x-4=\left(3x-1\right)\left(5x+4\right)$$

Vlerëso

$$\left(3x-1\right)\left(5x+4\right)$$