Zgjidh 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Gjej x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 15x^{2}+ax+bx-4. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 4.

$$a=-6 b=10$$

Rishkruaj 15x^{2}+4x-4 si \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe 2 në të dytin.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5x-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 5x-2=0 dhe 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 15, b me 4 dhe c me -4 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Ngri në fuqi të dytë 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Shumëzo -4 herë 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Shumëzo -60 herë -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Mblidh 16 me 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Gjej rrënjën katrore të 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Shumëzo 2 herë 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-4±16}{30} kur ± është plus. Mblidh -4 me 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Thjeshto thyesën \frac{12}{30} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-4±16}{30} kur ± është minus. Zbrit 16 nga -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Thjeshto thyesën \frac{-20}{30} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Zbritja e -4 nga vetja e tij jep 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Zbrit -4 nga 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Pjesëto të dyja anët me 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Pjesëtimi me 15 zhbën shumëzimin me 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Pjesëto \frac{4}{15}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{2}{15}. Më pas mblidh katrorin e \frac{2}{15} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{2}{15} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Mblidh \frac{4}{15} me \frac{4}{225} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Faktori x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Zbrit \frac{2}{15} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$