Zgjidh 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Gjej x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 14x^{2}+ax+bx-15. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -29.

$$a=-35 b=6$$

Rishkruaj 14x^{2}-29x-15 si \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Faktorizo 7x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-5=0 dhe 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 14, b me -29 dhe c me -15 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Ngri në fuqi të dytë -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Shumëzo -4 herë 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Shumëzo -56 herë -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Mblidh 841 me 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Gjej rrënjën katrore të 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

E kundërta e -29 është 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Shumëzo 2 herë 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{29±41}{28} kur ± është plus. Mblidh 29 me 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Thjeshto thyesën \frac{70}{28} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{29±41}{28} kur ± është minus. Zbrit 41 nga 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Thjeshto thyesën \frac{-12}{28} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Mblidh 15 në të dyja anët e ekuacionit.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Zbritja e -15 nga vetja e tij jep 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Zbrit -15 nga 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Pjesëto të dyja anët me 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Pjesëtimi me 14 zhbën shumëzimin me 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Pjesëto -\frac{29}{14}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{29}{28}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{29}{28} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{29}{28} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Mblidh \frac{15}{14} me \frac{841}{784} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Faktori x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Mblidh \frac{29}{28} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$