Zgjidh 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Gjej n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 13n^{2}+an+bn-120. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -41.

$$a=-65 b=24$$

Rishkruaj 13n^{2}-41n-120 si \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Faktorizo 13n në grupin e parë dhe 24 në të dytin.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët n-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-5=0 dhe 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 13, b me -41 dhe c me -120 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Ngri në fuqi të dytë -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Shumëzo -4 herë 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Shumëzo -52 herë -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Mblidh 1681 me 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Gjej rrënjën katrore të 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

E kundërta e -41 është 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Shumëzo 2 herë 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{41±89}{26} kur ± është plus. Mblidh 41 me 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Pjesëto 130 me 26.

$$n=5$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{41±89}{26} kur ± është minus. Zbrit 89 nga 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Thjeshto thyesën \frac{-48}{26} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Mblidh 120 në të dyja anët e ekuacionit.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Zbritja e -120 nga vetja e tij jep 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Zbrit -120 nga 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Pjesëto të dyja anët me 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Pjesëtimi me 13 zhbën shumëzimin me 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Pjesëto -\frac{41}{13}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{41}{26}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{41}{26} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{41}{26} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Mblidh \frac{120}{13} me \frac{1681}{676} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Faktori n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Thjeshto.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Mblidh \frac{41}{26} në të dyja anët e ekuacionit.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$