Zgjidh 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Gjej x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Pjesëto të dyja anët me 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx-2300. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 200.

$$a=-30 b=230$$

Rishkruaj 3x^{2}+200x-2300 si \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe 230 në të dytin.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-10 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-10=0 dhe 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 120, b me 8000 dhe c me -92000 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Ngri në fuqi të dytë 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Shumëzo -4 herë 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Shumëzo -480 herë -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Mblidh 64000000 me 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Gjej rrënjën katrore të 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Shumëzo 2 herë 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-8000±10400}{240} kur ± është plus. Mblidh -8000 me 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Pjesëto 2400 me 240.

$$x=10$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-8000±10400}{240} kur ± është minus. Zbrit 10400 nga -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Thjeshto thyesën \frac{-18400}{240} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Mblidh 92000 në të dyja anët e ekuacionit.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Zbritja e -92000 nga vetja e tij jep 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Zbrit -92000 nga 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Pjesëto të dyja anët me 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Pjesëtimi me 120 zhbën shumëzimin me 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Thjeshto thyesën \frac{8000}{120} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Thjeshto thyesën \frac{92000}{120} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Pjesëto \frac{200}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{100}{3}. Më pas mblidh katrorin e \frac{100}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{100}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Mblidh \frac{2300}{3} me \frac{10000}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Faktori x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Zbrit \frac{100}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$