Zgjidh 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Gjej r

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 12r^{2}+ar+br-15. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -11.

$$a=-20 b=9$$

Rishkruaj 12r^{2}-11r-15 si \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Faktorizo 4r në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3r-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3r-5=0 dhe 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 12, b me -11 dhe c me -15 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Ngri në fuqi të dytë -11.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Shumëzo -4 herë 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Shumëzo -48 herë -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Mblidh 121 me 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Gjej rrënjën katrore të 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

E kundërta e -11 është 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Shumëzo 2 herë 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Tani zgjidhe ekuacionin r=\frac{11±29}{24} kur ± është plus. Mblidh 11 me 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{40}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$r=\frac{5}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin r=\frac{11±29}{24} kur ± është minus. Zbrit 29 nga 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{-18}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Mblidh 15 në të dyja anët e ekuacionit.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Zbritja e -15 nga vetja e tij jep 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Zbrit -15 nga 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Pjesëtimi me 12 zhbën shumëzimin me 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{15}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 3.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Pjesëto -\frac{11}{12}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{11}{24}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{11}{24} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{11}{24} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Mblidh \frac{5}{4} me \frac{121}{576} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Faktori r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Thjeshto.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Mblidh \frac{11}{24} në të dyja anët e ekuacionit.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$