Zgjidh 12c^2+11c-15

$$12 c ^ { 2 } + 11 c - 15$$

Faktorizo

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 12c^{2}+ac+bc-15. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 11.

$$a=-9 b=20$$

Rishkruaj 12c^{2}+11c-15 si \left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right).

$$\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right)$$

Faktorizo 3c në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$3c\left(4c-3\right)+5\left(4c-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 4c-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$12c^{2}+11c-15=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$c=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Ngri në fuqi të dytë 11.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Shumëzo -4 herë 12.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Shumëzo -48 herë -15.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Mblidh 121 me 720.

$$c=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Gjej rrënjën katrore të 841.

$$c=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

Shumëzo 2 herë 12.

$$c=\frac{-11±29}{24}$$

Tani zgjidhe ekuacionin c=\frac{-11±29}{24} kur ± është plus. Mblidh -11 me 29.

$$c=\frac{18}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{18}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$c=\frac{3}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin c=\frac{-11±29}{24} kur ± është minus. Zbrit 29 nga -11.

$$c=-\frac{40}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{-40}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$c=-\frac{5}{3}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{3}{4} për x_{1} dhe -\frac{5}{3} për x_{2}.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Zbrit \frac{3}{4} nga c duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Mblidh \frac{5}{3} me c duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\times \frac{3c+5}{3}$$

Shumëzo \frac{4c-3}{4} herë \frac{3c+5}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{4\times 3}$$

Shumëzo 4 herë 3.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{12}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 12 në 12 dhe 12.

$$12c^{2}+11c-15=\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Vlerëso

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$