Zgjidh 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Faktorizo

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 12z^{2}+az+bz-12. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -7.

$$a=-16 b=9$$

Rishkruaj 12z^{2}-7z-12 si \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Faktorizo 4z në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3z-4 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Ngri në fuqi të dytë -7.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Shumëzo -4 herë 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Shumëzo -48 herë -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Mblidh 49 me 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Gjej rrënjën katrore të 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

E kundërta e -7 është 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Shumëzo 2 herë 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Tani zgjidhe ekuacionin z=\frac{7±25}{24} kur ± është plus. Mblidh 7 me 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{32}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin z=\frac{7±25}{24} kur ± është minus. Zbrit 25 nga 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{-18}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{4}{3} për x_{1} dhe -\frac{3}{4} për x_{2}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Zbrit \frac{4}{3} nga z duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Mblidh \frac{3}{4} me z duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Shumëzo \frac{3z-4}{3} herë \frac{4z+3}{4} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Shumëzo 3 herë 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 12 në 12 dhe 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Vlerëso

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$