Zgjidh 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Gjej x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 12x^{2}+ax+bx+3. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 13.

$$a=4 b=9$$

Rishkruaj 12x^{2}+13x+3 si \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Faktorizo 4x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x+1=0 dhe 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 12, b me 13 dhe c me 3 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Ngri në fuqi të dytë 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Shumëzo -4 herë 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Shumëzo -48 herë 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Mblidh 169 me -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Gjej rrënjën katrore të 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Shumëzo 2 herë 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-13±5}{24} kur ± është plus. Mblidh -13 me 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{-8}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-13±5}{24} kur ± është minus. Zbrit 5 nga -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{-18}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Zbritja e 3 nga vetja e tij jep 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

Pjesëtimi me 12 zhbën shumëzimin me 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-3}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Pjesëto \frac{13}{12}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{13}{24}. Më pas mblidh katrorin e \frac{13}{24} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{13}{24} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Mblidh -\frac{1}{4} me \frac{169}{576} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Faktori x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Zbrit \frac{13}{24} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$