Zgjidh 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Gjej y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 3y^{2} nga të dyja anët.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Risistemo polinomin për ta vendosur në formën standarde. Renditi kufizat nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -3y^{2}+ay+by+4. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 11.

$$a=12 b=-1$$

Rishkruaj -3y^{2}+11y+4 si \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Faktorizo 3y në -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët -y+4 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh -y+4=0 dhe 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Zbrit 3y^{2} nga të dyja anët.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -3, b me 11 dhe c me 4 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 11.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Shumëzo -4 herë -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Shumëzo 12 herë 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Mblidh 121 me 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Shumëzo 2 herë -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-11±13}{-6} kur ± është plus. Mblidh -11 me 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Thjeshto thyesën \frac{2}{-6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-11±13}{-6} kur ± është minus. Zbrit 13 nga -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Pjesëto -24 me -6.

$$y=4$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Zbrit 3y^{2} nga të dyja anët.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Pjesëtimi me -3 zhbën shumëzimin me -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Pjesëto 11 me -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Pjesëto -4 me -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Pjesëto -\frac{11}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{11}{6}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{11}{6} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{11}{6} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Mblidh \frac{4}{3} me \frac{121}{36} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktori y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Thjeshto.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Mblidh \frac{11}{6} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$