Zgjidh 10x+15=8x^2+24x+78

$$10x+15 = 8 { x }^{ 2 } +24x+78$$

Gjej x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{455}i-7}{8}\approx -0.875-2.666341126i$$

$$x=\frac{-7+\sqrt{455}i}{8}\approx -0.875+2.666341126i$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Zbrit 8x^{2} nga të dyja anët.

$$10x+15-8x^{2}=24x+78$$

Zbrit 24x nga të dyja anët.

$$10x+15-8x^{2}-24x=78$$

Kombino 10x dhe -24x për të marrë -14x.

$$-14x+15-8x^{2}=78$$

Zbrit 78 nga të dyja anët.

$$-14x+15-8x^{2}-78=0$$

Zbrit 78 nga 15 për të marrë -63.

$$-14x-63-8x^{2}=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-8x^{2}-14x-63=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -8, b me -14 dhe c me -63 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-8\right)\left(-63\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-8\right)\left(-63\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Shumëzo -4 herë -8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+32\left(-63\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Shumëzo 32 herë -63.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-2016}}{2\left(-8\right)}$$

Mblidh 196 me -2016.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-1820}}{2\left(-8\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të -1820.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{455}i}{2\left(-8\right)}$$

E kundërta e -14 është 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{455}i}{2\left(-8\right)}$$

Shumëzo 2 herë -8.

$$x=\frac{14±2\sqrt{455}i}{-16}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{14±2\sqrt{455}i}{-16} kur ± është plus. Mblidh 14 me 2i\sqrt{455}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{455}i}{-16}$$

Pjesëto 14+2i\sqrt{455} me -16.

$$x=\frac{-\sqrt{455}i-7}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{14±2\sqrt{455}i}{-16} kur ± është minus. Zbrit 2i\sqrt{455} nga 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{455}i+14}{-16}$$

Pjesëto 14-2i\sqrt{455} me -16.

$$x=\frac{-7+\sqrt{455}i}{8}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{-\sqrt{455}i-7}{8} x=\frac{-7+\sqrt{455}i}{8}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Zbrit 8x^{2} nga të dyja anët.

$$10x+15-8x^{2}=24x+78$$

Zbrit 24x nga të dyja anët.

$$10x+15-8x^{2}-24x=78$$

Kombino 10x dhe -24x për të marrë -14x.

$$-14x+15-8x^{2}=78$$

Zbrit 15 nga të dyja anët.

$$-14x-8x^{2}=78-15$$

Zbrit 15 nga 78 për të marrë 63.

$$-14x-8x^{2}=63$$

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}-14x=63$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$\frac{-8x^{2}-14x}{-8}=\frac{63}{-8}$$

Pjesëtimi me -8 zhbën shumëzimin me -8.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{-8}\right)x=\frac{63}{-8}$$

Thjeshto thyesën \frac{-14}{-8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{63}{-8}$$

Pjesëto 63 me -8.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=-\frac{63}{8}$$

Pjesëto \frac{7}{4}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{7}{8}. Më pas mblidh katrorin e \frac{7}{8} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{63}{8}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{7}{8} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{63}{8}+\frac{49}{64}$$

Mblidh -\frac{63}{8} me \frac{49}{64} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{455}{64}$$

Faktori x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{455}{64}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{455}{64}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{455}i}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{455}i}{8}$$

Zbrit \frac{7}{8} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{-7+\sqrt{455}i}{8} x=\frac{-\sqrt{455}i-7}{8}$$