Zgjidh 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 10x^{2}+ax+bx-12. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 7.

$$a=-8 b=15$$

Rishkruaj 10x^{2}+7x-12 si \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5x-4 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 5x-4=0 dhe 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 10, b me 7 dhe c me -12 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Ngri në fuqi të dytë 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Shumëzo -4 herë 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Shumëzo -40 herë -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Mblidh 49 me 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Gjej rrënjën katrore të 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Shumëzo 2 herë 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±23}{20} kur ± është plus. Mblidh -7 me 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Thjeshto thyesën \frac{16}{20} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±23}{20} kur ± është minus. Zbrit 23 nga -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Thjeshto thyesën \frac{-30}{20} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Zbritja e -12 nga vetja e tij jep 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Zbrit -12 nga 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Pjesëtimi me 10 zhbën shumëzimin me 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Thjeshto thyesën \frac{12}{10} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Pjesëto \frac{7}{10}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{7}{20}. Më pas mblidh katrorin e \frac{7}{20} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{7}{20} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Mblidh \frac{6}{5} me \frac{49}{400} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Faktori x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Zbrit \frac{7}{20} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$