Zgjidh 10x^2+7x+1

$$10 x ^ { 2 } + 7 x + 1$$

Faktorizo

$$\left(2x+1\right)\left(5x+1\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 10x^{2}+ax+bx+1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=7 ab=10\times 1=10$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 10.

$$1,10 2,5$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+10=11 2+5=7$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 7.

$$a=2 b=5$$

Rishkruaj 10x^{2}+7x+1 si \left(10x^{2}+2x\right)+\left(5x+1\right).

$$\left(10x^{2}+2x\right)+\left(5x+1\right)$$

Faktorizo 2x në 10x^{2}+2x.

$$2x\left(5x+1\right)+5x+1$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5x+1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}+7x+1=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10}}{2\times 10}$$

Ngri në fuqi të dytë 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10}}{2\times 10}$$

Shumëzo -4 herë 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 10}$$

Mblidh 49 me -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 10}$$

Gjej rrënjën katrore të 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 10}$$

Shumëzo 2 herë 10.

$$x=\frac{-7±3}{20}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±3}{20} kur ± është plus. Mblidh -7 me 3.

$$x=-\frac{4}{20}$$

Thjeshto thyesën \frac{-4}{20} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±3}{20} kur ± është minus. Zbrit 3 nga -7.

$$x=-\frac{10}{20}$$

Thjeshto thyesën \frac{-10}{20} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{1}{5} për x_{1} dhe -\frac{1}{2} për x_{2}.

$$10x^{2}+7x+1=10\left(x-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$10x^{2}+7x+1=10\left(x+\frac{1}{5}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Mblidh \frac{1}{5} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$10x^{2}+7x+1=10\times \frac{5x+1}{5}\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Mblidh \frac{1}{2} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$10x^{2}+7x+1=10\times \frac{5x+1}{5}\times \frac{2x+1}{2}$$

Shumëzo \frac{5x+1}{5} herë \frac{2x+1}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$10x^{2}+7x+1=10\times \frac{\left(5x+1\right)\left(2x+1\right)}{5\times 2}$$

Shumëzo 5 herë 2.

$$10x^{2}+7x+1=10\times \frac{\left(5x+1\right)\left(2x+1\right)}{10}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 10 në 10 dhe 10.

$$10x^{2}+7x+1=\left(5x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Vlerëso

$$\left(2x+1\right)\left(5x+1\right)$$