Zgjidh 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Gjej k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 10k^{2}+ak+bk-1. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -10.

$$-1,10 -2,5$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 9.

$$a=-1 b=10$$

Rishkruaj 10k^{2}+9k-1 si \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Faktorizo k në 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 10k-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 10k-1=0 dhe k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 10, b me 9 dhe c me -1 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Ngri në fuqi të dytë 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Shumëzo -4 herë 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Shumëzo -40 herë -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Mblidh 81 me 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Gjej rrënjën katrore të 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Shumëzo 2 herë 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Tani zgjidhe ekuacionin k=\frac{-9±11}{20} kur ± është plus. Mblidh -9 me 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Thjeshto thyesën \frac{2}{20} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Tani zgjidhe ekuacionin k=\frac{-9±11}{20} kur ± është minus. Zbrit 11 nga -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Pjesëto -20 me 20.

$$k=-1$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Mblidh 1 në të dyja anët e ekuacionit.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Zbritja e -1 nga vetja e tij jep 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Zbrit -1 nga 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Pjesëtimi me 10 zhbën shumëzimin me 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Pjesëto \frac{9}{10}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{9}{20}. Më pas mblidh katrorin e \frac{9}{20} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{9}{20} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Mblidh \frac{1}{10} me \frac{81}{400} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktori k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Thjeshto.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Zbrit \frac{9}{20} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$